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競って、んーと、好転 (解答)

今回の問題は自分が解法を確認しているときにもっと楽に解ける方法を思いついてしまったという
切ない結末を迎えました。

その結末はこちら。

鍵はやはり補助線です。分かりやすいところに引きます。

やっぱ補助線

AB が 10 cm、BC が 5 cm であることから、AC は 5√5 cm ということが分かります。

元々の私の方法は、この三辺を利用して AD または CD を求め、そこから BD を求めるものでした。
三平方の定理によって方程式を立てて解けば、容易に算出できます。

AD を x と置けば
102 - x2 = 52 - (5√5 - x)2
ということで x = 4√5
ということで BD2 = 102 - (4√5)2 = 20
ということで BD = 2√5

しかし、方程式を立てなくても解くことができます。

まず ∠ADB が 90°であることはすぐに分かります。
(面倒な説明をしますと、∠ADB は、弧 AB に対する円周角です。
弦 AB が直径そのものなので中心角は 180°、つまり ∠ADB はその半分の 90°です)
そして ∠ABC も 90°ですので、
「二つの角がそれぞれ等しい」という条件の下に △ABC∽△ADB が成立します。

直角三角形をその高さとなる垂線で分割すると、
分割されたそれぞれの三角形と元の直角三角形はすべて相似になるという
決まりごとというか法則はなんか便利ですね。

ここまでの事実がすぐに分かれば、かなりスマートに解けるかと思います。

相似ならではの「辺の比」を利用します。
AC : AB = BC : BD から、BD を x と置けば
5√5 : 10 = 5 : x
50 = (5√5)x
(√5)x = 10
x = 2√5

となります。
AD や DC を求めずに、既知の部分の長さのみを利用するわけです。
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[ No. 831 ]
[ 日時 : 2009/07/29 (Wed.) 23:39:07 ]
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