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4 つの扇 (解答)

昨日の問題の解答です。
早くね?と思われるかもしれませんが、忘れないうち、時間のあるうちに書いておきたいという理由です。

一応、「続きを読む」の中身としておきます。
通常「続きを読む」は使わないので、こういうときに使うのも一つの手ですね。
閲覧を望む場合にのみ開いてほしい感じです。

さて、「続きを読む」にして一旦隠してしまった以上、ここではもう包み隠さず私なりの解法を書きます。
筋道立てて徐々に進めていきますので、
解けなかった方が見る場合途中で「あ、解けそう」と思ったら即刻閉じてみるのもいいでしょう。

それでは、今一度問題の図を見てみます。

問題

塗りつぶされた部分は円弧の一部分に囲まれた何ともいえない形ですので、
これだけを見ていても求められそうにありません。
この部分を仮に A とおくことにし、もっと視野を広げてみましょう。

色分け

同じ面積のところを色分けすると、このようになります。
桃色のところを B、青色のところを C とおきます。

単純に考えると、102 cm2 からこのすべての B と C を引けば、
その残りが求める A となるわけですね。
その求め方でもいいのですが、いずれにせよ B と C を求めればいいわけですので、
ここでは別のアプローチを取ります。こちらの手法の方が答えに早くたどり着きそうな気がするからです。

一部分

緑色で塗りつぶされている部分の面積が分かれば、
そこから B を 2 つ分引くことで A が出てきますね。

この部分なら

その部分は 102 cm2 からこの橙色の部分を引けば求められます。
これはすぐに分かりますね。
「正方形から中心角が 90°の扇の面積を引いたもの」を正方形から 2 個分引くので、

正方形から「正方形から中心角が 90°の扇の面積を引いたもの」を 2 個引いたもの

となります。(以後、数式は cm2 を省いて表記します)
ここから B を 2 つ分引くには、B を求めなければなりません。
そこで、先ほどの「正方形から中心角が 90°の扇の面積を引いたもの」に着目します。

今度はココ

この部分の面積は

「正方形から中心角が 90°の扇の面積を引いたもの」

となり、ここから C を 2 つ分引けば B が求められます。
つまり、C さえ分かってしまえば A も自ずと求められるというわけです。

ここまで辿り着いても、C が分からなければ手の打ちようがありません。
では、C はどうやって求めればいいのでしょうか。

今までは、求めることができる部分同士を引き算して、差を取ってきました。
これも同様に、引き算をすればいいのです。

コレも引き算

水色の部分が求められればいいわけです。
それこそ求められない、と考えてはいけません。ここで補助線が登場するのです。

引く補助線は 2 本です。

ココがポイント

ここで閃いた方もいらっしゃるかと思います。

水色の部分を赤色の補助線 2 本で 3 つに分けました。
補助線はいずれも扇形の中心から円弧に向かって伸びていますので、その長さは 10 cm です。
すると、この 3 つの部分を 2 つの扇形と 1 つの正三角形に分けることができます。

2 つの扇形の中心角は、90°から正三角形の一つの内角である 60°を引いた分なので、30°となります。
その面積の合計は

扇形 2 つ

になりますね。

正三角形は一辺が 10 cm なので、

正三角形 1 つ

よって、C は

正方形から扇形 2 つと正三角形 1 つを引いたもの

あとは、ひたすら引き算をしていきます。

結果

これが答えです。
また、扇形の半径を x cm とすれば、

x を使って表す

となります。

これを知ったところでどうなんだという話ですが、
要するに工夫が数学を面白くするんだということにします。
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[ No. 820 ]
[ 日時 : 2009/06/28 (Sun.) 13:30:33 ]
[ カテゴリ : 数学 ]
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